...Полученное мною сегодня от Вас письмо от 31 октября текущего года содержит следующий вопрос: «Avez vous vu et étudié l’écrit de l’Abbé Moigno intitulé: «Impossibilité du nombre actuellement infini; la science dans ses rapports avec la foi» (Paris: Gauthier-Villars, 1884)?» («Видели ли Вы и изучили ли сочинение аббата Муаньо, озаглавленное: «Невозможность актуально бесконечного числа; наука в соотношении с верой» (Париж: Готье—Вилларс, 1834)?», фр.) Да, вот уже несколько недель, как я достал себе это сочинение. То, что здесь говорит Муаньо о мнимой невозможности актуально бесконечных чисел, и употребление, сделанное им из этого ложного тезиса для обоснования некоторых религиозных вероучений, известно мне в существенном уже из лекций Коши: «Sept leçons de physique générale» (Paris: Gauthier-Villars, 1868). Коши, кажется, пришел к этим весьма необычным для математики спекуляциям под влиянием работ патера Жердиля. Последний (Гиацинт Зигмунд, 1718—1802) был весьма почтенной высокопоставленной личностью и уважаемым философом. Одно время он профессорствовал в Турине, затем был воспитателем будущего короля Пьемонта Карла Эммануила IV, потом, вызванный папой Пием VI в 1776 г. в Рим, он исполнял ряд обязанностей при престоле и, наконец, был возведен в сан епископа Остии, а также кардинала. Вам, быть может, он известен как автор некоторых работ по геометрии и вопросам истории. На с. 26 указанных лекций Коши упоминает о работе Жердиля, озаглавленной «Essai d’une démonstration mathématique contre l’existence éternelle de la matière et du mouvement, déduite de l’impossibilité démontrée d’une suite actuellement infinie de termes, soit permanents, soit successifs» (Opere edite et inedite del cardinale Giacinto Sigismondo Gerdil. Rome, 1806, vol. 4, p. 261). Тот же вопрос он рассматривает в «Mémoire de l’infini absolu considéré dans la grandeur» (Ibid. Rome, 1807, vol. 5, p. 1). Я отнюдь не нахожусь в принципиальном противоречии с этими авторами, поскольку они стремятся к гармонии между верой и знанием; но я считаю совершенно непригодными средства, которыми они пользуются для этого.
Если бы догматы веры нуждались для своего подтверждения в таком кардинально ложном тезисе, как положение о невозможности актуально бесконечных чисел (которое в известной формуле «numerus infinitus repugnat» очень и очень древнего происхождения; в новейшее время оно встречается, например, у Тонджорджи в «Instit. philos.», vol. 2, 1.3, а. 4, pr. 10, в форме «Multitudo actu repugnat»; его можно найти также, между прочим, у X. Зигварта (Logik. Tübingen, 1878, Bd. 2, S. 47) и у К. Фишера (System der Logik und Metaphysik oder Wissenschaftslehre. Heidelberg, 1865, S. 275)), то их дела обстояли бы очень плохо. Мне кажется поэтому весьма замечательным то, что св. Фома Аквинский в I p, q. 2, а. 3 своей «Summa theologica», где он доказывает с помощью пяти аргументов существование бога, не пользуется вовсе этим ложным тезисом, хотя он вообще отнюдь не противник его; но во всяком случае для преследуемой им цели он показался ему мало надежным (ср.: Gutberlet, Constantin. Das Unendliche metaphysisch und mathematisch betrachtet. Mainz, 1878, S. 9), Сколь высоко я ни ценю Коши как математика и физика, сколь ни симпатична мне его религиозность и как, в частности, мне ни нравятся — помимо рассматриваемого заблуждения — его «Sept leçons de physique générale», я должен все же решительно протестовать против его авторитета там, где он ошибался.
Теперь прошло ровно два года с тех пор, как г-н Рудольф Липшиц из Бонна обратил мое внимание на одно место в переписке между Гауссом и Шумахером, где первый высказывается против всякого привлечения актуально бесконечного в математику (письмо от 12 июля 1831 г.). Я подробно ответил на это указание и отклонил в этом пункте авторитет Гаусса, который во всех прочих отношениях я ставлю так высоко, подобно тому как теперь я отклоняю свидетельство Коши и как в своем сочинении «Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre» (Leipzig, 1883) я среди прочих авторов отклонил и авторитет Лейбница, оказавшегося в этом вопросе удивительно непоследовательным.
Если бы Вы пожелали внимательнее просмотреть названное мною только что сочинение (а не перевод его в «Acta mathematica», т. 2, где приведена лишь часть его), то Вы увидели бы, что в § 4—8 я ответил по существу на все те возражения, которые могут быть выдвинуты против введения актуально бесконечных чисел. Если тогда мне и были еще неизвестны упомянутые сочинения Жердиля, Коши и Муаньо по рассматриваемому нами вопросу, то все же соответствующие мнимые доводы этих авторов опровергаются в такой же мере, как и petitiones principii («(предрешающее) желание основания», лат.) у столь многих приведенных мною там философов.
Все так называемые доказательства невозможности актуально бесконечных чисел являются,— как это можно показать в каждом отдельном случае и заключить из общих соображений,— ошибочными по существу и содержатA πρωτον ψενδοζ («(предрешающее) желание основания», гр.)в том, что в них заранее приписывают или скорее навязывают рассматриваемым числам все свойства конечных чисел. Между тем, бесконечные числа, если только вообще их приходится мыслить в какой-нибудь форме, ввиду своей противоположности конечным числам, должны образовывать совершенно новый вид чисел, свойства которых зависят исключительно от природы вещей и образуют предмет исследования, а не нашего произвола и наших предрассудков.
Паскаль, как я лишь недавно увидел, вполне осознал всю рискованность, если не нелепость подобных дедукций, с какими мы встречаемся у названных нами писателей. Поэтому он, равно как и его друг Антуан Арно, высказывается за актуально бесконечные числа. Но в силу некоторого другого шаткого соображения, на котором я не хочу здесь останавливаться, он слишком низко оценивал человеческий ум в отношении постижения им актуально бесконечного (см.: Pascal. Oeuvres complètes. Paris: Hachette et Co, 1877, vol. 1, p. 302—303; далее: Logique de Port-Royal/Ed. С. Jourdain. Paris: Hachette et Co, 1877. Pt. 4. Chap. 1.).
Если захотеть сгруппировать наглядным образом различные воззрения, высказывавшиеся на протяжении истории по занимающему нас вопросу об актуально бесконечном (которое в последующем обозначается для краткости через а. б.), то для этого представляется несколько точек зрения, из которых ныне я остановлюсь на одной.
А именно а. б. можно рассматривать в трех главных отношениях: во-первых, поскольку оно имеет место in Deo extramundano aeterno omnipotenti sive natura naturante («во внемировом вечном и всемогущем боге или в творящем начале», лат.) и в этом случае оно называется абсолютным; во-вторых, поскольку оно имеет место in concreto seu in natura naturata («в конкретном или в сотворенной природе», лат.), и в этом случае я называю его transfinitum («трансфинитным»); в-третьих, а. б. можно рассматривать in abstracto («абстрактным образом»), т. е. поскольку оно может быть постигнуто человеческим познанием в форме актуально бесконечного, или, как я назвал это, в форме трансфинитных чисел, или в еще более общей форме трансфинитных порядковых типов (απιθμοί νοητοί или ειδητιχοί («умозрительные» или «идеальные числа», гр.)).
Если, прежде всего, мы оставим в стороне первую из этих проблем и ограничимся двумя последними, то сами собой появляются четыре различные точки зрения, которые фактически имели и имеют место в прошлом и настоящем.
Можно, во-первых, отвергнуть а. б. как in concreto, так и in abstracto, подобно тому как это делают Жердиль, Коши, Муаньо в указанных выше сочинениях, Ш. Ренувье (ср. его «Esquisse d’une classification systématique des doctrines philosophiques». Paris: Au Bureau de la Critique philosophique, 1885, vol. 1, p. 100) и все так называемые позитивисты и их родня.
Во-вторых, можно принимать а. б. in concreto, но отвергать его in abstracto. Эта точка зрения встречается, как я указал в своих «Основах», с. 16, у Декарта, Спинозы, Лейбница, Локка и многих других. А если бы потребовалось назвать современного автора, то я упомянул бы Германа Лотце, который в статье «L’Infini actuel est-il contradictoire? Réponse à Monsieur Renouvier» в «Revue philos.» de Ribot, 1880, vol. 9, защищает а. б. in concreto. Реплика Ренувье содержится в том же томе названного журнала.
В-третьих, можно утверждать а. б. in abstracto, но зато отрицать его in concreto. На этой точке зрения находится часть неосхоластов, тогда как другая, возможно более значительная часть этой школы, получившей мощный импульс к развитию благодаря энциклике Льва XIII от 4 августа 1879 г. «De philosophia Christiana ad mentem Sancti Thomae Aquinatis Doctoris Angelici in scholis catholicis instauranda», пытается еще защищать первую из вышеназванных четырех точек зрения.
В-четвертых, наконец, можно принимать а. б. как in concreto, так и in abstracto. Этой точки зрения, которую я считаю единственно правильной, придерживаются лишь немногие. Быть может, я по времени первый, защищающий ее с полной определенностью со всеми ее следствиями, но одно я знаю твердо: я не буду последним ее защитником!
Если принять во внимание и отношение философов к проблеме а. б. in Deo, то получается классификация школ по восьми точкам зрения, которые удивительным образом, кажется, все представлены в истории мысли. Затруднение в отнесении в эти восемь классов могли бы представить только те авторы, которые не заняли определенной позиции по одному или более из трех относящихся к а. б. вопросов.
Так называемое потенциальное или синкатегорематическое бесконечное (Indefinitum) не дает повода ни к какому подобному разделению. Причина этого заключается в том, что оно имеет смысл лишь как понятие отношения, как вспомогательное представление нашего мышления, но не означает само по себе никакой идеи. В этой роли оно, разумеется, благодаря открытому Лейбницем и Ньютоном дифференциальному и интегральному исчислению обнаружило свое огромное значение как средство познания и инструмент нашего духа. Но само по себе оно не может претендовать на значительную роль.
Ваши вопросы вызваны, возможно, одним замечанием в моей статье «О различных теоремах из теории точечных множеств» в «Acta math.», т. 7, с. 123, где я сослался, среди других, и на Коши в подтверждение моего взгляда на строение материи. Я при этом имел в виду главным образом ту сторону своей гипотезы, в которой я утверждаю строгую пространственную точечность или непротяженность последних элементов, как ее развивал вслед за Лейбницем и патер Бошкович в своем сочинении «Theoria philosophiae naturalis redacta ad unicam legem virium in natura existentium» (Venetiis, 1763). Это утверждение содержится у Коши в его «Sept leçons»; до него оно искусно защищалось Андре Мари Ампером (Cours du Collège de France, 1835—1836), а после него Сен-Венаном (ср. его «Mémoire sur la question de savoir s’il existe des masses continues et sur la nature probable des dernières particules des corps» в «Bulletin de la Société philomatique de Paris», 1844, 20 Janv.; см. также его более крупную работу в «Annales de la Société scientifique de Bruxelles». 2-e ann.), а у нас в Германии — особенно Г. Лотце (см. его «Mikrokosmos». Bd. 1) и Г. Т. Фехнером (см. его «Über die physikalische und philosophische Atomlehre. Leipzig, 1864). Но, конечно, я не могу отрицать, что Коши — по крайней мере в указанной небольшой книге (а также и другие только что названные авторы, за исключением Лейбница) — полемизирует против второй составной части моей гипотезы, против актуально бесконечного числа последних элементов. Насколько он прав — это показано мною выше. В другой раз, однако, я как-нибудь покажу, что при других обстоятельствах Коши не оставался верен этому своему взгляду на а. б., что, впрочем, и не могло быть иначе...
Несмотря на существенное различие понятий потенциальной и актуальной бесконечности,— причем первая означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ, а последняя — некоторое замкнутое в себе, постоянное, но лежащее по ту сторону всех конечных величин количество,— к сожалению, слишком часто встречаются случаи смешения этих понятий. Так, например, нередко встречающийся взгляд на дифференциалы как на определенные бесконечно малые величины (тогда как они представляют собой лишь переменные произвольно малые вспомогательные величины, совершенно исчезающие из конечных результатов, а потому характеризовавшиеся уже Лейбницем как простые фикции,— см., например, в издании Эрдмана, с. 436) основывается на таком смешении. Но если из справедливой антипатии к подобному незаконному а. б. в широких научных кругах под влиянием современного эпикурейски материалистического духа времени образовался своего рода Horror Infiniti, нашедший свое классическое выражение в упомянутом письме Гаусса, то связанное с этим некритическое отвержение законного а. б. представляется мне немалым преступлением против природы вещей, которые следует брать такими, каковы они в действительности. Такое отношение можно рассматривать как своего рода близорукость, которая лишает возможности видеть а. б., хотя последнее в своем высшем, абсолютном носителе создало и сохраняет нас, а в своих вторичных трансфинитных формах окружает нас со всех сторон и даже присуще самому нашему духу.
Часто происходит смешение другого рода, а именно двух форм актуально бесконечного, причем смешивается трансфинитное с абсолютным. Между тем эти понятия явно различны в том отношении, что первое следует мыслить, конечно, бесконечным, но все же доступным дальнейшему увеличению, тогда как последнее приходится считать недоступным увеличению, а потому математически неопределимым. С этой ошибкой мы встречаемся, например, в случае пантеизма, и она образует ахиллесову пяту этики Спинозы, хотя Ф. Г. Якоби утверждал ее неопровержимость доводами разума. Можно также заметить, что со времен Канта среди философов укрепилось ложное представление, будто абсолютное является идеальным пределом конечного, между тем как в действительности этот предел можно мыслить лишь как некое трансфинитное и притом как минимум всех трансфинитов (соответствующий наименьшему сверхконечному числу, обозначаемому мною через ω). Кант в «Критике чистого разума» в главе об «Антиномиях чистого разума» оперирует без серьезной предварительной критической работы понятием бесконечности при рассмотрении четырех вопросов, стараясь доказать, что на них с одинаковым правом можно дать утвердительные и отрицательные ответы. Вряд ли когда-либо — не исключая пирроновский и академический скепсис, с которым у Канта столь много общего,— что-нибудь так способствовало дискредитации человеческого разума, как этот раздел «критической трансцендентальной философии». При случае я покажу, что лишь благодаря смутному неотчетливому употреблению понятия бесконечности (если еще можно говорить о понятиях при подобных обстоятельствах) этому автору удалось вызвать серьезное отношение к его антиномиям и к тому же только у тех лиц, которые, подобно ему, предпочитают уклоняться от основательного математического рассмотрения подобных вопросов.
Здесь я хотел бы ответить и на два возражения, выдвинутые против моих работ.
Как известно, Гербарт дает такое определение бесконечного, что под него может подпасть лишь понятие потенциальной бесконечности, и на этом он основывает свое так называемое доказательство того, что а. б. внутренне противоречиво. С тем же правом он мог бы определить коническое сечение как кривую, точки которой отстоят от центра на равном расстоянии, чтобы, опираясь на это, выставить против Аполлония Пергского положение: «Не существует никаких других конических сечений, кроме окружности, а то, что называют эллипсом, гиперболой и параболой,— внутренне противоречивые понятия». Такого же достоинства и возражения, выставленные против моих «Основ», господами гербартианцами (ср.: Ztschr. für exakte Philosophie von Th. Allin und A. Flügel., Bd. 12, S. 389).
Г-н В. Вундт в двух своих работах — в его «Логике» (т. 2) и в статье «Kants kosmologische Antinomien und das Problem des Unendlichkeit» (Philos. Stud., Bd. 2) —касается, хотя и своеобразно, моих исследований и у него довольно часто встречаются введенные мною слова «трансфинитный = сверхконечный». Но я не могу признать, что он правильно понял меня.
В первом сочинении, например, вся фраза в конце с. 127, начинающаяся словами «Wenn wir eine...», прямо противоположна правильному пониманию дела. Он также совершенно ошибочно определяет понятия потенциальной и актуальной бесконечностей (которые я в моих «Основах» назвал несобственной бесконечностью и собственной бесконечностью). Точно так же я должен отклонить, как неудачное, сопоставление с Гегелем. Пантеист Гегель не знает никаких существенных различий в а. б. Для моих же воззрений характерны именно подобные различия, которые я нашел, резко подчеркнул и строго математически развил благодаря открытию коренной противоположности между «мощностью» и «порядковым числом» множеств, что, по-видимому, совершенно проглядел г-н Вундт, хотя она встречается почти на каждой странице моих работ. Столь же мало сходства имеют мои исследования с «метаматематическими» исследованиями, с которыми их все же ставит на одну доску г-н Вундт. Неустойчивость в определении понятий и связанная с нею путаница, занесенная впервые около века тому назад с далекого востока Германии в философию, нигде не обнаруживается столь ясно, как в вопросах, относящихся к бесконечности: это ясно видно из бесчисленных как критицистических, так и позитивистских, как психологических, так и филологистических работ теперешней философской литературы. Нельзя поэтому не упомянуть, что г-н Вундт желает употреблять слово «Infinitum» исключительно в значении потенциально бесконечного. Но ведь это слово издревле и вполне общим образом было относимо к положительнейшему из всех понятий, к понятию бога. Приходится удивляться странной идее употреблять отныне слово «Infinitum» только в самом ограниченном синкатегорематическом смысле.
С данной статьи начинается ряд публикаций, в которых Кантор защищается от философских и теологических возражений против того понятия бесконечности, которое он положил в основу своих математических исследований. Полемически защитная направленность и форма переписки, в которой появились эти статьи (первоначально в журнале Фихте, а позднее перепечатанные и собранные воедино в «Избранных произведениях»), а также желание (не всегда достигаемое) быть понятым нематематиками обусловили некоторую несистематичность и недостаточную математическую строгость. В созданное ранее математическое содержание его теоретико-множественных работ они вряд ли вносили что-либо новое. Однако, с другой стороны, они дают возможность понять и оценить его специфически философский труд. Для современного читателя эти статьи могут представлять разве лишь психолого-биографический интерес. [1] Здесь Кантор, по-видимому, не совсем правильно представил кантовское учение об «антиномиях чистого разума». У Канта речь идет не об опровержении или отвержении понятия бесконечности, а о его применимости к миру в целом, о том факте, что человеческий разум по самой своей природе одинаково недостаточен в восприятии мира, будь он как ограниченным, так и неограниченным,— факте, который не может быть устранен из мира ни математической теорией, вроде канторовской теории множеств, ни его не слишком глубокой полемикой. Даже тот, кто, как издатель, принципиально отвергает кантовскую теорию математики, согласно которой все математические предложения должны основываться на «чистом созерцании», будет вынужден все же согласиться, что в этом учении об «антиномиях» нашло свое выражение более углубленное проникновение в «диалектическую» природу человеческого мышления. А к этому добавляется то своеобразное обстоятельство, что как раз «антиномии теории множеств», по крайней мере формальную аналогию которых с кантовскими вряд ли можно оспаривать, в течение жизни целого поколения преграждали путь к распространению и признанию творения Кантора.