Бесконечность
При чтении современной философской литературы,
как и при просмотре форумов, бросается в глаза полное отсутствие интереса
философов к понятию бесконечности. Хотя это понятие является для философии
центральным. Не интересоваться природой и формами бесконечного – значит, не
интересоваться ни Абсолютным, ни мышлением, ни вообще философией. Поэтому
уделим ему особое внимание.
А). Бесконечность в математике. Взгляд
Г.Кантора.
Я выбрал в качестве образца понимания природы
бесконечного математика Г.Кантора. Он, на мой взгляд, наиболее точно формулирует
различие между математическими бесконечностями, с одной стороны, и
математическим и философским - с другой. Кроме того, его точка зрения широко
известна и принята.
Свой взгляд он разъясняет в статье "О различных
точках зрения на актуальное бесконечное".
Имеет место, пишет он, "...существенное различие
понятий потенциальной и актуальной бесконечности, - причем первая означает
переменную конечную величину, растущую вверх вне всяких конечных границ, а
последнее - некоторое замкнутое в себе, постоянное, но лежащее по ту сторону
всех конечных величин количество...". Далее Кантор настаивает на
законности применения актуально бесконечного в математике. Непризнание
актуального бесконечного - ошибка, которую совершают, в частности, "...все
так называемые позитивисты и их родня". Одно лишь потенциальное
бесконечное "...само по себе не обозначает никакой идеи".
Эта оценка - камушек в огород современной философии,
запутавшейся в азах бесконечного, поэтому-то к философии и не относятся как к
науке.
В наше время разделение бесконечного на потенциальную
и актуальную, насколько мне известно, с небольшими индивидуальными вариациями
принято всей современной наукой. При этом такое разделение, по существу, есть
разделение на собственно конечное (потенциальное) и собственно бесконечное
(актуальное), лежащее по ту сторону всех конечных величин, неконечное.
Актуальная бесконечность ограничена, оконечена лишь сферой конечного, это -
конечное отрицание конечного. Итак, Кантор утверждает, что бесконечное
существует как ограниченное, конечное бесконечное. Может, он не подозревает о
бесконечном бесконечном?
Посмотрим.
"Часто происходит смешение другого рода, а именно
двух форм актуально бесконечного (Обратите внимание! – М.), причем смешивается
трансфинитное с абсолютным. Между тем эти понятия явно различны в том
отношении, что первое следует мыслить, конечно, бесконечным, но все же
доступным дальнейшему увеличению, тогда как последнее приходится считать
недоступным увеличению, а потому математически неопределимым".
Таким образом, Кантор однозначно утверждает, что кроме
математического бесконечного есть и другое, "абсолютное"
(философское, как мы увидим позже) бесконечное. Это бесконечное принципиально
не поддается познанию математическими методами, оно даже не может быть
определено в математических терминах.
Очень показательна мысль, что быть "недоступным
увеличению" влечет "математически неопределимо". Понимание
причины, лежащей в основе этой импликации, и есть тот рубеж, где кончается
математика (и рационализм вообще) и начинается философия.
И здесь Кантор также предельно конкретен. Он пишет:
"С этой ошибкой мы, например, встречаемся в случае пантеизма, и она
образует ахиллесову пяту этики Спинозы". Далее: "...со времен Канта
среди философов укрепилось ложное представление, будто абсолютное является
идеальным пределом конечного, между тем как в действительности этот предел
можно мыслить лишь как некое трансфинитное, и притом как минимум всех
трансфинитов...". И еще: "Пантеист Гегель не знает никаких
существенных различий в актуальном бесконечном". (Внимание обратили!? Запомним: у Гегеля не хватило тяму для
понимания различия в актуальном бесконечном в смысле Кантора! – М.)
Т.е. Гегель не знает, чем отличается трансфинитное
(«дурное», в его терминологии, бесконечное от абсолютного («истинного», по
Гегелю) бесконечного. Оригинальное прочтение «Науки логики»!
В заключение: "Неустойчивость в определении
понятий и связанная с нею путаница, занесенная около века тому назад с далекого
востока Германии (намек на Кенигсберг. - М.) в философию, нигде не
обнаруживается столь ясно, как в вопросах, относящихся к бесконечности".
И хотя математик Кантор не слишком силен в философии,
вменяя Канту определение, данное Аристотелем, а также полагая, что мыслить
можно только математически, либо никак, считая Гегеля непонимающим различий
форм бесконечности и т.д., - мы видим здесь ясное понимание различных подходов
к бесконечному и категорическое утверждение о важности этого понятия для
философии и математики, утверждение, что различие между Платоном, Аристотелем,
Кантом, Гегелем, с одной стороны, и Кантором, Фреге, Расселом, Гильбертом - с
другой, есть различие в понимании природы бесконечного. Это понимает почти
любой математик, но назвать современного философа с аналогичным пониманием я
затрудняюсь.
Я не хотел бы раздражать кого-либо лишний раз своими
поучениями (опять же, согласитесь, причем здесь я!), но все же искренне считаю,
что современная философия об этом не знает. Поэтому-то я и взялся разъяснить
столь хорошо забытое старое. Извините, если такие разъяснения излишни.
Дальше я попытаюсь объяснить, как конкретно
сказываются различия в определении бесконечного на логике мышления.
В). Бесконечность в философии. Взгляд
Г.Гегеля.
«Главное в том, чтобы различить истинное понятие бесконечности
и дурную бесконечность, бесконечное разума и бесконечное рассудка; однако
последнее есть оконеченное бесконечное,
и мы видим, что, удерживая бесконечное чистым от конечного и вдали от него, мы
его лишь оконечиваем».
Итак, за сотню лет до вышецитированной работы Кантора
Гегель, опираясь на Канта, сформулировал (впервые!) кардинальное различие
понятий философского и математического бесконечного. Это и означает, по словам Кантора, что Гегель «не знает никаких
существенных различий в актуальном бесконечном»! Смотрите дальше, если еще
остались какие-то сомнения:
«Уже раньше шла
речь о дурной бесконечности и связанных с ней заблуждениях; всеобщность понятия
- это достигнутая потусторонность; указанная же бесконечность остается
отягощенной потусторонним как чем-то недостижимым, поскольку она остается
просто прогрессом в бесконечное, …понятие, единственно в котором вся суть и
которое есть в себе и для себя бесконечное, тем самым исключено из этого
познания».
Актуальная, как трансфинитная, бесконечность – то, что
всегда недостижимо. Математическое, канторовское, бесконечное не является
собственно бесконечным, т.к. за его пределами остается, помимо прочего, и
конечное, которое ограничивает указанное бесконечное. Тем самым, математическое
бесконечное внутренне противоречиво, это – конечное бесконечное.
«Это противоречие сразу же сказывается в том, что
наряду с бесконечным остается конечное как наличное бытие; имеются, таким
образом, две определенности; имеются два мира, бесконечный и конечный, и в их
соотношении бесконечное есть лишь граница конечного и, следовательно, само есть
лишь определенное, конечное бесконечное».
Наука, рассудок используют лишь конечные объекты в
познании, и трансфиниты – не исключение. Соответственно, понятия, отражающие
эти конечные сущности в мышлении, также конечны, односторонни. Понятие в
спекулятивном смысле кардинально отлично от понятия рассудочного, как
абсолютное бесконечное отлично от актуального.
«Нужно различать между понятием в спекулятивном смысле
и тем, что обычно называют понятием. Тысячи и тысячи раз повторявшееся и
превратившееся в предрассудок утверждение, что бесконечное не может быть
постигнуто посредством понятия, имеет в виду понятие в последнем, одностороннем
смысле».
Столь обильное цитирование призвано показать,
насколько важно понимание идеи бесконечного как для математики, так и для
философии. Однако, если математик ясно
понимает это различие, ибо забыть о нем – значит рисковать попасть в лапы
какому-либо парадоксу типа Рассела, то философ сплошь и рядом о таком различии
даже не подозревает. Складывается впечатление, что речь идет о чем-то, открытом
в математике, и еще не дошедшем до философии, не существенном для нее! И, в
результате, философ просто не способен выкарабкаться из лап вышеозначенных
парадоксов.