Математика и философия

Математика и философия

Проблема бесконечности в философии тесно связана с основной проблемой современной философии, проблемой познания в бесконечных понятиях. Поскольку специфика бесконечного достаточно хорошо понята математикой, есть смысл, по-моему, предваряя разговор о познании, несколько подробнее осветить проблему бесконечности.

Упомянутая проблема носила разные имена в разные времена. Сегодня она наиболее известна как парадокс Рассела. Позволю себе напомнить его формулировку (допускаю некоторые неточности ради краткости и ясности. Точное и безупречное рассуждение лучше посмотреть у самого Рассела).

1. Мы допускаем, что существуют множества с произвольными объектами в качестве своих элементов. Тогда

2. Ничто не мешает нам определить множество, которое является элементом самого себя, своей собственной частью (например, каталог всех каталогов есть каталог, список всех списков – список). Такое множество назовем собственным. А также

3. Определим множество, не являющееся своим собственным элементом (например, множество всех котов само котом не является). Такое множество мы назовем несобственным.

4. Рассмотрим множество всех несобственных множеств (согласно 1 оно существует). Мы хотим понять, является ли это множество несобственным или же оно собственное?

5. Если это множество несобственное, то оно должно быть элементом множества всех несобственных множеств, т.е. быть элементом самого себя, т.е. быть собственным.

6. Но, если оно собственное, т.е. является элементом множества всех несобственных множеств, оно, очевидно, несобственно.

Тем самым, внутри науки и средствами самой науки мышлением был построен внутренне противоречивый объект. Причем, эта противоречивость бесконечна (в некотором смысле), принципиально неустранима логическими средствами самой науки.

Возникает дилемма:

1. Либо мы сохраняем логику в ее прежнем виде, но не допускаем к научному рассмотрению подобные конструкции мышления (а это такие понятия, как «Бог», «мышление», «понятие». На самом деле, всякое понятие может быть «достроено» до бесконечности). Наука признает свою неспособность работать с ними и оставляет их на растерзание донаучных ("иррациональных") форм мышления (интуиции, озарения, откровения и т.п.).

2. Либо мы признаем необходимость включения этих конструкций мышления в арсенал познаваемого, но тогда необходимо изменить саму логику познания, научиться мыслить противоречия некоторым адекватным «непротиворечивым» образом. При этом в области конечного понятия наша логика должна совпадать с ее традиционной аристотелевской (или математической, если угодно) предшественницей.

Наука в настоящее время избрала первый путь. Сокрушительные результаты Геделя и Тарского – плата за сравнительно спокойную жизнь в области знакомого конечного. И здесь, как выяснилось (я уже писал), не поможет никакая "классическая" неклассическая логика, о которой Вы упоминаете.

Прорыв Фихте, Шеллинга и, особенно, Гегеля – второй путь. Здесь плата - непонимание катастрофически сложного способа мышления, каким является диалектика. Это путь философии.

Итак, все, что лежит до парадокса Рассела – наука и ее методология. То, что за его пределами – философия. Проблемы современной философии принципиально не могут быть решены внутри науки. Они лежат за ее пределами, хотя ее корни – в ней.

Позволю себе «лирическое отступление».

Вы очень по-философски излагаете свой взгляд на парадокс Рассела. Он "не заметил", но "создал теорию типов". Мне бы хотелось, чтобы Вы смогли пойти в этой проблематике дальше Кантора и объяснить, что же не заметил Рассел, создавая теорию типов? До сих пор весь математическй мир был уверен, что раз Рассел "создал", так, наверное, "заметил"!

При любом раскладе, я рад, что Вы "заметили" точку зрения Рассела на ограничение определения понятия "множество". Только следовало бы подчеркнуть, что это ограничение введено Расселом, а не Вами, как это может показаться из Вашей реплики (имею в виду словечко "проще".).

Буду рад еще больше, если Вы согласитесь (а не будете открывать заново) с Гильбертом, Нейманом, системой Цермело и т.д.

И еще. Вы говорите, что "широкие круги" знают о теореме Гёделя лишь понаслышке, из популярных источников. Так, простите, широкие круги знают из тех же источников и о квантовой механике, и о теории суперструн, и о Гегеле. Тем не менее, я рекомендовал бы обратиться по этому вопросу к работе Э.Мендельсона "Введение в математическую логику", Гл.3, параграфы с 3-го по 6-ой.

Но – ближе к делу.

Я пытаюсь реализовать программу, ставящую своей целью ознакомить Вас с природой математической и философской бесконечностей.

Вот что пишет к.т.н. Морозов в статье Философские вопросы математики" (я даю материал в сокращении с собственными комментариями, не всегда оговаривая это особо).

Использование при логических операциях над такими объектами, как “актуальная бесконечность”, закона исключенного третьего привело на крайних границах теории множеств к так называемым “парадоксам бесконечного” и поставило под сомнение аксиоматический метод в его классическом понимании.

Этих парадоксов было обнаружено много (парадокс Бурали-Форти, парадокс Кантора, Рассела и др.) Они были связаны с разрешением рассматривать множества, содержащие себя как подмножества, с понятием множества всех множеств и т. п.

Существует ли множество всех множеств? Множество всех множеств должно включать в себя в качестве подмножеств множество своих подмножеств. Следовательно, его мощность не менее, чем мощность множества его подмножеств. Однако этот вывод находится в прямом противоречии с известной теоремой теории множеств, которая гласит: “Мощность множества всех подмножеств данного множества всегда больше мощности самого данного множества” (речь идет о парадоксе Кантора со ссылкой на теорему Шредера-Бернштейна. - М.).

Другого рода противоречие заключает в себе понятие множества всех множеств, не являющихся элементами самих себя (парадокс Рассела).

Современный американский логик X. Карри писал немного позднее об этом парадоксе: «В терминах логики, известной в XIX в., положение просто не поддавалось объяснению, хотя, конечно, в наш образованный век могут найтись люди, которые увидят (или подумают, что увидят), в чем же состоит ошибка».

Итак, комментирую: множество всех множеств есть бесконечное множество, вне которого ничего нет, такое множество, которое невозможно расширить, множество, соотносящееся лишь с самим собой. Это - абсолютное бесконечное (по Кантору), как мы уже видели, и оно немедленно порождает парадоксы. Абсолютное бесконечное является носителем принципиально неустранимых противоречий, и пытаться мыслить его непротиворечиво (математически) столь же нелепо, как и мыслить противоречиво непротиворечивый объект. Эта неустранимая противоречивость и исключает его из числа понятий, доступных математике.

Но, может быть, если мы ограничимся конечным потенциальным, или, на худой конец, трансфинитным бесконечным, то ситуация станет безоблачной? Посмотрим.

Парадоксы теории множеств показали, что она не является вполне надежным основанием для аксиоматического метода. В связи с критикой классического направления в математике наряду с другими школами возник интуиционизм (Брауэр, Вейль, Гейтинг и др.). С точки зрения интуиционистов, главное в математике — это метод построения объектов. Объекты, которые не могут быть построены, исходя из натурального ряда, или для построения которых не может быть указан метод, не имеют права на существование в математике. Поэтому актуальная бесконечность и заменяется потенциальной бесконечностью, т. е. бесконечностью незавершенной, бесконечностью в процессе построения.

Итак, интуиционизм, как и родственный ему конструктивизм, отрицают актуальную бесконечность, ограничивают применение закона исключенного третьего, признают существующими лишь те объекты, которые фактически могут быть построены или для построения которых может быть указан соответствующий метод.

Я подвожу к той мысли, что аксиоматический метод не способен приблизить нас к понимнию абсолютного в принципе. Выход видится в том, чтобы не конструировать абсолютное мышлением, а наоборот, чтобы абсолютное конструировало наше мышление.

Итак, продолжаю.

Под воздействием обнаружившихся парадоксов теории множеств и критики со стороны интуиционистов, провозгласивших “кризис” оснований математики, Гильберт и его ученики предприняли ряд новых изысканий с целью обоснования классической математики.

Гильберт считал, что обоснования какой-либо математической теории можно достичь в том случае, если, используя методы математической логики, из некоторой системы аксиом вывести все возможные следствия и относительно каждого из них установить, что оно не противоречит другим.

Доказав в течение 1920—1930 годов непротиворечивость частных формализованных систем, охватывающих часть арифметики, Гильберт и его последователи (Аккерман, Бернайс, Эрбран, фон Нейман и др.) полагали, что они уже достигли цели и доказали не только непротиворечивость арифметики, но также и непротиворечивость теории множеств.

Однако результаты, полученные Гёделем в 1931 году, указали на принципиальные трудности на этом пути и, следовательно, на новые границы применимости аксиоматического метода.

Гёдель доказал теорему о неполноте достаточно развитых формальных систем: в каждой такой системе можно сформулировать предложение, которое недоказуемо в ней, как недоказуемо в ней и его отрицание.

Так, например, если мы имеем систему аксиом А1, А2, ... Аn то в терминах этой системы аксиом можно сформулировать предложение В0, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть при помощи данной системы аксиом.

Но, может быть, можно к имеющейся системе аксиом добавить еще одну, например, An+1, которая позволит нам вывести В0? Да, это возможно. но тогда обязательно найдется еще хотя бы одно предложение B1, которое невозможно доказать при помощи теперь уже расширенной системы аксиом.

И т.д., до бесконечности.

Результаты, полученные Гёделем, доказали невозможность построения “всеобщей аксиоматической системы” не только для всей математики, но даже для ее отдельных разделов, например для всей арифметики (хотя для некоторых частных случаев такое построение возможно).

Конечно, теорема Гёделя вовсе не говорит о крахе аксиоматического метода. Потерпели крушение лишь надежды сформулировать такую систему аксиом, из которой можно было бы вывести все истинные предложения математики и логики (выделено мной. - М.).

Комментируем:

1. Выход из кризисной ситуации в математике был найден в том, чтобы в каждый момент рассуждений над бесконечным оставлять львиную ее долю за пределами этого бесконечного. Это обстоятельство задается аксиомами теории множеств. Обычно либо допускают бесконечную иерархию типов множеств, где всякое множество типа i может быть элементом множества только типа i+1 (но не i!), либо допускается построение по всякому множеству мощности х множества всех его подмножеств с мощностью 2 в степени х.

2. Тем самым, математическое мышление никогда не работает со всей (абсолютной) бесконечностью. Наоборот, оно работает лишь с ее небльшими кусками в окружении все более умопомрачительных бесконечностей за его пределами. По существу, мы не ушли от абстракции потенциальной бесконечности, а лишь изменили и обобщили угол зрения на нее.

3. Никакая конечная система аксиом не дает надежды познать что-либо большее, чем некоторый конечный кусочек действительности. Все бесконечное разнообразие мира и мысли этот метод навсегда оставляет за бортом науки.

Итак, антиномии Канта через сто лет стали парадоксами математики. Указание Гегеля на то, что следует строго отличать математическое ("дурное") бесконечное от реального, также через сотню лет было осознано и осуществлено математикой. Его же предупреждения о принципиальных ограничениях познания в конечных понятиях нашло свое отражение в теореме Гёделя о неполноте и неразрешимости (спустя сто лет после смерти Гегеля).

Вообще, смысл теоремы Гёделя в том, что всякая более-менее содержательная аксиоматическая теория (рекурсивно) неразрешима и существенно не полна. О неполноте уже немного сказано выше. Скажем (для полноты картины) несколько слов о неразрешимости.

"Доказать" в математике означает, что существует цепочка высказываний, начинающаяся на аксиомах и кончающаяся доказываемым утверждением. Каждый элемент цепочки получается из предыдущих ее элементов при помощи правил вывода, используемых этой теорией.

В некоторых, правда очень простых, случаях аксиоматических теорий всякое разумное утверждение теории может быть либо доказано, либо опровергнуто, т.е. может быть доказано его отрицание. При этом, если мы сформулировали некоторое утверждение, его доказательство (или опровержение) может быть построено автоматически. Иначе говоря, в таких теориях существуют алгоритмы получения доказательства.

В более сложных случаях ситуация резко меняется. В таких теориях предложение этой теории может быть доказуемым, но алгоритма построения доказательства в принципе не существует. Каждое доказательство должно строиться индивидуально, и вид этого доказательства существенно будет зависеть от мастерства, эрудиции и интуиции конкретного математика. Рекурсивная неразрешимость и означает этот факт несуществования алгоритма вывода теорем из аксиом.

О неполноте уже было сказано. В таких теориях всегда есть утверждения, не зависящие от аксиом этих теорий. Их (или их отрицание) можно присоединить к уже имеющимся аксиомам и получить, тем самым, новую, расширенную теорию. Подчеркнем, что можно добавить само утверждение к исходным аксиомам и получить непротиворечивую теорию. Но можно добавить и отрицание невыводимого утверждения и получить другую теорию, ничуть не хуже первой. Конечно, эти теории будут противоречить друг другу, но внутренняя непротиворечивость каждой сохранится в обоих случаях.

Поэтому математики часто говорят, что нельзя утверждать, истинны ли утверждения математики. Можно лишь утверждать, что они непротиворечивы в рамках заданной аксиоматики.

В свое время Гегель, указывая на неразрешимость математического доказательства (если помните, в качестве примера он использовал теорему Пифагора), противопоставлял его диалектическому доказательству, как абсолютно разрешимому, алгоритмизуемому. Это то, что сам он называл "метод".

Метод Гегеля состоит в повторении триад. Каждая триада начинается с отрицания абсолютно бесконечного, с бесконечного отрицания. Это отрицание разлагает бесконечное на пару конечных объектов. Следующий шаг триады заключается в анализе полученных конечных. Эти конечные противоположны друг другу по операции теперь уже конечного отрицания (т.к. мы перешли в сферу конечного). Каждое не есть другое. В то же время, каждое из них имеет одно и то же определение, а именно: "каждое не есть другое". Тем самым, они тождественны. Каждое есть и то, и другое. Эта пара взаимоотносительных конечных категорий является единством противоположностей.

Полученное единство указывает на относительный, несамостоятельный характер конечных. Истина этой относительности в том, что эти конечные - лишь противоположные моменты одного целого - абсолютного. Этот третий шаг - переход от конечного к бесконечному - противоположен первому шагу, бесконечному отрицанию, он есть отрицание первого отрицания или снятие

первого отрицания, восстановление абсолютного. Но восстановлено не первое абсолютное, а абсолютное в форме различенных моментов.

Теперь мы можем вновь применить триаду к полученному результату. Каждый раз разлагается новое абсолютное с уже выявленными взаимосвязанными сторонами, и выявляется новая пара конечных взаимообусловленых противоположностей-понятий. Эта пара снова изменяет исходное абсолютное и т.д.

Далее, каждое бесконечное, как логический результат предыдущего, есть, в свою очередь, "отрицательное" абсолютное по отношению к первому. Третье абсолютное, будучи отрицательным ко второму, есть "положительное" по отношению к первому.

Таким образом, диалектическое саморазвитие абсолютного имеет спиральную структуру. Сначала - абсолютное бесконечное, затем - относительные конечные, затем антиабсолютное бесконечное, затем антиотносительные конечные, снова абсолютное бесконечное и т.д. Представление абсолютного парой конечных позволяет рассматривать эту спираль как двойную в области конечного, математического мышления. Каждая образующая этих спиралей представляет собой дискретное множество конечных взаимонепротиворечивых моментов абсолютного, переход от более простых и общих понятий к более конкретным. Однако, ничего не зная об этой спирали, конечному мышлению приходится на ощупь отыскивать всякий новый виток, что и фиксируется в понятии "неразрешимость". Также, в силу большого числа образующих есть много различных независимых путей конечной мысли, что фиксируется понятием "неполнота".

Я тоже что-то Вас слабо понимаю. Как-то Вы писали, что мало слышали о разных видах бесконечности. Поэтому, я и решил, что для Вас эта тема - первое легкое знакомство, а не повод для дискуссий. Извините, раз ошибся.

В этой теме я пытаюсь объяснить три вещи:

1. Что действительно бесконечность бывает разная.

2. Что проблематика, связанная с бесконечным, давно и хорошо известна.

3. Что работа с абсолютной бесконечностью требует принципиально иной логики мышления, ничего общего с "неклассическими логиками" не имеющего.

Требования пункта 1. и 2. вынудили меня прибегнуть к обширному цитированию ("начетничеству", как пишите Вы), дабы было видно, насколько широко обсуждается круг затронутых проблем. Видно ведь, согласитесь?

Далее, Вы упрекаете меня в наличии совершенно излишней для философа эрудиции, выражающейся в знании первоисточников.

Дело в том, что все авторы, на которых я ссылаюсь, почему-то не считают за позор изучать мнения других авторов. Я также стараюсь изучать более-менее оригинальные статьи. И я не думаю, что Вы не разделяете такого стиля работы, предпочитая "широкие круги".

По поводу электронного вида, к сожалению, ничего не могу подсказать. Обычно я просто ищу нужные вещи в Яндексе или в Рамблере. Найдя же, благополучно забываю все ссылки.

Но продолжим.

До сих пор я писал об общеизвестном и общепринятом (пп.1. и 2.). К ним относятся и парадокс Рассела, и теорема Гёделя, так что, на мой взгляд, здесь дискуссии просто неуместны. Наша задача - не уклониться от абсолютной бесконечности (это - задача математики), а проникнуть в нее посредством иного способа мышления.

Сегодня же я перехожу к вопросам п.3., о которых и стоит подискутировать.

Итак, отметим для себя две характерные черты математики - конечность ее бесконечных объектов и аксиоматический метод.

Мы же сейчас попробуем рассмотреть абсолютное бесконечное, т.к. конечному бесконечному уже уделили достаточно внимания.

Что же мы хотим сделать?

1. Мы не будем ничего придумывать, а просто построим отрицание математического бесконечного со стороны его конечности, и, соответственно, доопределим понятие отрицания. Т.е., построим понятие бесконечности, противоположное понятию бесконечности в математике.

2. Мы постараемся избегать вмешательства нашего мышления в "жизнь" абсолютного посредством каких бы то ни было специальных аксиом. Мы не задаем заранее свойства абсолютного, ибо они нам еще не известны. Наоборот, само абсолютное, процессируя в нашем мозге, в нашем мышлении, должно показать нам свои свойства. Это - противоположность метода философии методу математики, противопоставление беспредпосылочного метода философии аксиоматическому методу математики.

Поехали.

Мы будем рассматривать такое абсолютное, вне которого ничего нет.

Первая проблема, с которой здесь сталкивается мышление - что же есть Абсолютное, и чем оно отличается от не-Абсолютного? Что есть не-Абсолютное?

В математике если задано понятие А, то обязательно вне него есть и какое-то В, которое есть не-А. Благодаря конечности математических объектов мы всегда можем построить для них их отрицание, лежащее вне них. Математическое отрицание есть конечное отрицание, оно применимо лишь в области конечных объектов. (Собственно, этому я посвятил предыдущие посты).

Но вне Абсолютного А, по определению, нет ничего, что могло бы быть не-А, нет никакого бытия и нет никакого ничто. Поэтому отрицание Абсолютного необходимо лежит в нем самом, не-Абсолютное есть его другое самого себя (поэтому-то математика здесь отдыхает).

Отрицанием беконечного, того, вне чего ничего нет, есть то, вне чего что-то есть, т.е. конечное. Но конечное - то вне чего есть нечто, то есть нечто другое конечное. Тем самым, отрицание абсолютного раскалывает его на пару конечных объектов. Абсолютное исчезает, порождая пару относительных объектов.

Такое отрицание, разбивающее, раскалывающее абсолютно бесконечное на пару конечных, будем называть бесконечным отрицанием.

Итак, бесконечное через отрицание порождает пару конечных объектов. Оно делится, подобно биологической клетке.

Первое, что мы должны отметить в этой связи, так это то, что оба конечных совершенно симметричны, тождественны, у нас нет никакого критерия зафиксировать их как некоторое "одно", и некоторое "другое". Использование чего-либо вроде аксиомы выбора было бы ничем не оправданной попыткой внести свою субъективность в рассматриваемый предмет. Более того, такая попытка противоречила бы определению абсолютного, предполагала бы, что оно - по одну сторону, а мышление - по другую, что абсолютное ограничено рассматривающим его мышлением извне. Такая попытка возвращала бы нас в математику, делала бы конечным наше бесконечное.

Отношение тождества наших конечных напоминает принцип тождественности частиц в квантовой механике, и, поэтому, не есть нечто совершенно неизвестное науке (хотя философия обнаружила этот принцип за сотню лет до науки).

Таким образом, если мы и желаем говорить о них, как о некоторых А и В, то всегда должны помнить и их основное отношение: А=В.

С другой стороны, как они сами реализуют свое тождество? В какой форме?

Что бы мы не обозначили через А, о нем можно сказать лишь одно: оно конечно, т.е. вне него существует нечто, что не является этим А, существует не-А. Точно также, не-А - конечно, т.е. и для него существует предел, не-не-А, где оно завершается, наше исходное А. Поэтому мы можем сказать, что А=не-не-А=А (первый закон конечной логики), но это отношение А с самим собой не есть непосредственное отношение. А=А лишь благодаря своему отношению с другим, с не-А.

Известный логический закон тождества А=А имеет место тогда, и только тогда, когда мы мыслим в сфере конечного. И если мы не выходим за эту сферу, мы можем абстрагироваться от взаимодействия понятий, от их опосредования друг другом, опускать в мышлении промежуточный момент не-В:

А=не-В=не-не-А=А.

Но вернемся к нашим А и В. Итак, они совершенно тождественны и конечны, т.е. каждое их них не есть другое, каждое из них есть конечное отрицание другого. Пока что, это единственное, полагаемое ими, определение их тождества. Они тождественны потому, что они есть отрицание другого. Они тождественны потому, что они одинаково соотносятся друг с другом, и это соотношение есть противоположность. Они - противоположные полюса своего отношения, как, например, верх и низ, положительное и отрицательное, и т.д.

Теперь мы получили первый закон диалектики: абсолютное существует лишь как тождество противоположностей.

Заметим, что ничто подобное не может быть высказано вне сферы абсолютного. Тождество противоположностей есть исключительно и только результат бесконечного отрицания абсолютного бесконечного, и вне абсолютного этот закон не имеет ни малейшего смысла.

P.S. Уважаемый оппонент!

Хотя, наверное, трудно сходу понять только что изложенные азы азов диалектики, но Вы, все же, надеюсь, заметили, что Ваша критика диалектики бьет мимо предмета. Диалектизмы - это не неправильно построенные конструкции мысли в области конечного мышления, как Вы это представляете. Это - принципиально необходимые выражения абсолютного бесконечного в мышлении, в понятии.

Конечно, Вы не одиноки. Карл Поппер систематически критиковал бесконечное мышление с позиций конечного (так же мимо, не понимая самого предмета критики). И на многие Ваши вопросы давно уже ответил Моррис Корнфорт в своем "Анти-Поппере" (его книга "Открытое общество. Открытая философия").